2. 数据抽象

现在我们来实现一个完整的复数运算程序。在上一节我们已经定义了复数的结构体类型,现在需要围绕它定义一些函数。复数可以用直角座标或极座标表示,直角座标做加减法比较方便,极座标做乘除法比较方便。如果我们定义的复数结构体是直角座标的,那么应该提供极座标的转换函数,以便在需要的时候可以方便地取它的模和辐角:

#include <math.h>

struct complex_struct {
	double x, y;
};

double real_part(struct complex_struct z)
{
	return z.x;
}

double img_part(struct complex_struct z)
{
	return z.y;
}

double magnitude(struct complex_struct z)
{
	return sqrt(z.x * z.x + z.y * z.y);
}

double angle(struct complex_struct z)
{
	return atan2(z.y, z.x);
}

此外,我们还提供两个函数用来构造复数变量,既可以提供直角座标也可以提供极座标,在函数中自动做相应的转换然后返回构造的复数变量:

struct complex_struct make_from_real_img(double x, double y)
{
	struct complex_struct z;
	z.x = x;
	z.y = y;
	return z;
}

struct complex_struct make_from_mag_ang(double r, double A)
{
	struct complex_struct z;
	z.x = r * cos(A);
	z.y = r * sin(A);
	return z;
}

在此基础上就可以实现复数的加减乘除运算了:

struct complex_struct add_complex(struct complex_struct z1, struct complex_struct z2)
{
	return make_from_real_img(real_part(z1) + real_part(z2),
				  img_part(z1) + img_part(z2));
}

struct complex_struct sub_complex(struct complex_struct z1, struct complex_struct z2)
{
	return make_from_real_img(real_part(z1) - real_part(z2),
				  img_part(z1) - img_part(z2));
}

struct complex_struct mul_complex(struct complex_struct z1, struct complex_struct z2)
{
	return make_from_mag_ang(magnitude(z1) * magnitude(z2),
				 angle(z1) + angle(z2));
}

struct complex_struct div_complex(struct complex_struct z1, struct complex_struct z2)
{
	return make_from_mag_ang(magnitude(z1) / magnitude(z2),
				 angle(z1) - angle(z2));
}

可以看出,复数加减乘除运算的实现并没有直接访问结构体complex_struct的成员xy,而是把它看成一个整体,通过调用相关函数来取它的直角座标和极座标。这样就可以非常方便地替换掉结构体complex_struct的存储表示,例如改为用极座标来存储:

#include <math.h>

struct complex_struct {
	double r, A;
};

double real_part(struct complex_struct z)
{
	return z.r * cos(z.A);
}

double img_part(struct complex_struct z)
{
	return z.r * sin(z.A);
}

double magnitude(struct complex_struct z)
{
	return z.r;
}

double angle(struct complex_struct z)
{
	return z.A;
}

struct complex_struct make_from_real_img(double x, double y)
{
	struct complex_struct z;
	z.A = atan2(y, x);
	z.r = sqrt(x * x + y * y);
}

struct complex_struct make_from_mag_ang(double r, double A)
{
	struct complex_struct z;
	z.r = r;
	z.A = A;
	return z;
}

虽然结构体complex_struct的存储表示做了这样的改动,add_complexsub_complexmul_complexdiv_complex这几个复数运算的函数却不需要做任何改动,仍然可以用,原因在于这几个函数只把结构体complex_struct当作一个整体来使用,而没有直接访问它的成员,因此也不依赖于它有哪些成员。我们结合下图具体分析一下。

图 7.3. 数据抽象

数据抽象

这里是一种抽象的思想。其实“抽象”这个概念并没有那么抽象,简单地说就是“提取公因式”:ab+ac=a(b+c)。如果a变了,ab和ac这两项都需要改,但如果写成a(b+c)的形式就只需要改其中一个因子。

在我们的复数运算程序中,复数有可能用直角座标或极座标来表示,我们把这个有可能变动的因素提取出来组成复数存储表示层:real_partimg_partmagnitudeanglemake_from_real_imgmake_from_mag_ang。这一层看到的数据是结构体的两个成员xy,或者rA,如果改变了结构体的实现就要改变这一层函数的实现,但函数接口不改变,因此调用这一层函数接口的复数运算层也不需要改变。复数运算层看到的数据只是一个抽象的“复数”的概念,知道它有直角座标和极座标,可以调用复数存储表示层的函数得到这些座标。再往上看,其它使用复数运算的程序看到的数据是一个更为抽象的“复数”的概念,只知道它是一个数,像整数、小数一样可以加减乘除,甚至连它有直角座标和极座标也不需要知道。

这里的复数存储表示层和复数运算层称为抽象层(Abstraction Layer),从底层往上层来看,复数越来越抽象了,把所有这些层组合在一起就是一个完整的系统。组合使得系统可以任意复杂,而抽象使得系统的复杂性是可以控制的,任何改动都只局限在某一层,而不会波及整个系统。著名的计算机科学家Butler Lampson说过:“All problems in computer science can be solved by another level of indirection.”这里的indirection其实就是abstraction的意思。

习题

1、在本节的基础上实现一个打印复数的函数,打印的格式是x+yi,如果实部或虚部为0则省略,例如:1.0、-2.0i、-1.0+2.0i、1.0-2.0i。最后编写一个main函数测试本节的所有代码。想一想这个打印函数应该属于上图中的哪一层?

2、实现一个用分子分母的格式来表示有理数的结构体rational以及相关的函数,rational结构体之间可以做加减乘除运算,运算的结果仍然是rational。测试代码如下:

int main(void)
{
	struct rational a = make_rational(1, 8); /* a=1/8 */
	struct rational b = make_rational(-1, 8); /* b=-1/8 */
	print_rational(add_rational(a, b));
	print_rational(sub_rational(a, b));
	print_rational(mul_rational(a, b));
	print_rational(div_rational(a, b));

	return 0;
}

注意要约分为最简分数,例如1/8和-1/8相减的打印结果应该是1/4而不是2/8,可以利用第 3 节 “递归”练习题中的Euclid算法来约分。在动手编程之前先思考一下这个问题实现了什么样的数据抽象,抽象层应该由哪些函数组成。