3. 深度优先搜索

现在我们用堆栈解决一个有意思的问题,定义一个二维数组:

int maze[5][5] = {
	0, 1, 0, 0, 0,
	0, 1, 0, 1, 0,
	0, 0, 0, 0, 0,
	0, 1, 1, 1, 0,
	0, 0, 0, 1, 0,
};

它表示一个迷宫,其中的1表示墙壁,0表示可以走的路,只能横着走或竖着走,不能斜着走,要求编程序找出从左上角到右下角的路线。程序如下:

例 12.3. 用深度优先搜索解迷宫问题

#include <stdio.h>

#define MAX_ROW 5
#define MAX_COL 5

struct point { int row, col; } stack[512];
int top = 0;

void push(struct point p)
{
	stack[top++] = p;
}

struct point pop(void)
{
	return stack[--top];
}

int is_empty(void)
{
	return top == 0;
}

int maze[MAX_ROW][MAX_COL] = {
	0, 1, 0, 0, 0,
	0, 1, 0, 1, 0,
	0, 0, 0, 0, 0,
	0, 1, 1, 1, 0,
	0, 0, 0, 1, 0,
};

void print_maze(void)
{
	int i, j;
	for (i = 0; i < MAX_ROW; i++) {
		for (j = 0; j < MAX_COL; j++)
			printf("%d ", maze[i][j]);
		putchar('\n');
	}
	printf("*********\n");
}

struct point predecessor[MAX_ROW][MAX_COL] = {
	{{-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}},
	{{-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}},
	{{-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}},
	{{-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}},
	{{-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}, {-1,-1}},
};

void visit(int row, int col, struct point pre)
{
	struct point visit_point = { row, col };
	maze[row][col] = 2;
	predecessor[row][col] = pre;
	push(visit_point);
}

int main(void)
{
	struct point p = { 0, 0 };

	maze[p.row][p.col] = 2;
	push(p);	
	
	while (!is_empty()) {
		p = pop();
		if (p.row == MAX_ROW - 1  /* goal */
		    && p.col == MAX_COL - 1)
			break;
		if (p.col+1 < MAX_COL     /* right */
		    && maze[p.row][p.col+1] == 0)
			visit(p.row, p.col+1, p);
		if (p.row+1 < MAX_ROW     /* down */
		    && maze[p.row+1][p.col] == 0)
			visit(p.row+1, p.col, p);
		if (p.col-1 >= 0          /* left */
		    && maze[p.row][p.col-1] == 0)
			visit(p.row, p.col-1, p);
		if (p.row-1 >= 0          /* up */
		    && maze[p.row-1][p.col] == 0)
			visit(p.row-1, p.col, p);
		print_maze();
	}
	if (p.row == MAX_ROW - 1 && p.col == MAX_COL - 1) {
		printf("(%d, %d)\n", p.row, p.col);
		while (predecessor[p.row][p.col].row != -1) {
			p = predecessor[p.row][p.col];
			printf("(%d, %d)\n", p.row, p.col);
		}
	} else
		printf("No path!\n");

	return 0;
}

运行结果如下:

2 1 0 0 0 
2 1 0 1 0 
0 0 0 0 0 
0 1 1 1 0 
0 0 0 1 0 
*********
2 1 0 0 0 
2 1 0 1 0 
2 0 0 0 0 
0 1 1 1 0 
0 0 0 1 0 
*********
2 1 0 0 0 
2 1 0 1 0 
2 2 0 0 0 
2 1 1 1 0 
0 0 0 1 0 
*********
2 1 0 0 0 
2 1 0 1 0 
2 2 0 0 0 
2 1 1 1 0 
2 0 0 1 0 
*********
2 1 0 0 0 
2 1 0 1 0 
2 2 0 0 0 
2 1 1 1 0 
2 2 0 1 0 
*********
2 1 0 0 0 
2 1 0 1 0 
2 2 0 0 0 
2 1 1 1 0 
2 2 2 1 0 
*********
2 1 0 0 0 
2 1 0 1 0 
2 2 0 0 0 
2 1 1 1 0 
2 2 2 1 0 
*********
2 1 0 0 0 
2 1 0 1 0 
2 2 2 0 0 
2 1 1 1 0 
2 2 2 1 0 
*********
2 1 0 0 0 
2 1 2 1 0 
2 2 2 2 0 
2 1 1 1 0 
2 2 2 1 0 
*********
2 1 2 0 0 
2 1 2 1 0 
2 2 2 2 0 
2 1 1 1 0 
2 2 2 1 0 
*********
2 1 2 2 0 
2 1 2 1 0 
2 2 2 2 0 
2 1 1 1 0 
2 2 2 1 0 
*********
2 1 2 2 2 
2 1 2 1 0 
2 2 2 2 0 
2 1 1 1 0 
2 2 2 1 0 
*********
2 1 2 2 2 
2 1 2 1 2 
2 2 2 2 0 
2 1 1 1 0 
2 2 2 1 0 
*********
2 1 2 2 2 
2 1 2 1 2 
2 2 2 2 2 
2 1 1 1 0 
2 2 2 1 0 
*********
2 1 2 2 2 
2 1 2 1 2 
2 2 2 2 2 
2 1 1 1 2 
2 2 2 1 0 
*********
2 1 2 2 2 
2 1 2 1 2 
2 2 2 2 2 
2 1 1 1 2 
2 2 2 1 2 
*********
(4, 4)
(3, 4)
(2, 4)
(1, 4)
(0, 4)
(0, 3)
(0, 2)
(1, 2)
(2, 2)
(2, 1)
(2, 0)
(1, 0)
(0, 0)

这次堆栈里的元素是结构体类型的,用来表示迷宫中一个点的x和y座标。我们用一个新的数据结构保存走迷宫的路线,每个走过的点都有一个前趋(Predecessor)点,表示是从哪儿走到当前点的,比如predecessor[4][4]是座标为(3, 4)的点,就表示从(3, 4)走到了(4, 4),一开始predecessor的各元素初始化为无效座标(-1, -1)。在迷宫中探索路线的同时就把路线保存在predecessor数组中,已经走过的点在maze数组中记为2防止重复走,最后找到终点时就根据predecessor数组保存的路线从终点打印到起点。为了帮助理解,我把这个算法改写成伪代码(Pseudocode)如下:

将起点标记为已走过并压栈;
while (栈非空) {
	从栈顶弹出一个点p;
	if (p这个点是终点)
		break;
	否则沿右、下、左、上四个方向探索相邻的点
	if (和p相邻的点有路可走,并且还没走过)
		将相邻的点标记为已走过并压栈,它的前趋就是p点;
}
if (p点是终点) {
	打印p点的座标;
	while (p点有前趋) {
		p点 = p点的前趋;
		打印p点的座标;
	}
} else
	没有路线可以到达终点;

我在while循环的末尾插了打印语句,每探索一步都打印出当前迷宫的状态(标记了哪些点),从打印结果可以看出这种搜索算法的特点是:每次探索完各个方向相邻的点之后,取其中一个相邻的点走下去,一直走到无路可走了再退回来,取另一个相邻的点再走下去。这称为深度优先搜索(DFS,Depth First Search)。探索迷宫和堆栈变化的过程如下图所示。

图 12.2. 深度优先搜索

深度优先搜索

图中各点的编号表示探索顺序,堆栈中保存的应该是座标,我在画图时为了直观就把各点的编号写在堆栈里了。可见正是堆栈后进先出的性质使这个算法具有了深度优先的特点。如果在探索问题的解时走进了死胡同,则需要退回来从另一条路继续探索,这种思想称为回溯(Backtrack),一个典型的例子是很多编程书上都会讲的八皇后问题。

最后我们打印终点的座标并通过predecessor数据结构找到它的前趋,这样顺藤摸瓜一直打印到起点。那么能不能从起点到终点正向打印路线呢?在上一节我们看到,数组支持随机访问也支持顺序访问,如果在一个循环里打印数组,既可以正向打印也可以反向打印。但predecessor这种数据结构却有很多限制:

  1. 不能随机访问一条路线上的任意点,只能通过一个点找到另一个点,通过另一个点再找第三个点,因此只能顺序访问。

  2. 每个点只知道它的前趋是谁,而不知道它的后继(Successor)是谁,所以只能反向顺序访问。

可见,有什么样的数据结构就决定了可以用什么样的算法。那为什么不再建一个successor数组来保存每个点的后继呢?从DFS算法的过程可以看出,虽然每个点的前趋只有一个,后继却不止一个,如果我们为每个点只保存一个后继,则无法保证这个后继指向正确的路线。由此可见,有什么样的算法就决定了可以用什么样的数据结构。设计算法和设计数据结构这两件工作是紧密联系的。

习题

1、修改本节的程序,要求从起点到终点正向打印路线。你能想到几种办法?

2、本节程序中predecessor这个数据结构占用的存储空间太多了,改变它的存储方式可以节省空间,想想该怎么改。

3、上一节我们实现了一个基于堆栈的程序,然后改写成递归程序,用函数调用的栈帧替代自己实现的堆栈。本节的DFS算法也是基于堆栈的,请把它改写成递归程序,这样改写可以避免使用predecessor数据结构,想想该怎么做。