1. 位运算

整数在计算机中用二进制的位来表示,C语言提供一些运算符可以直接操作整数中的位,称为位运算,这些运算符的操作数都必须是整型的。在以后的学习中你会发现,有些信息利用整数中的某几个位来存储,要访问这些位,仅仅有对整数的操作是不够的,必须借助位运算,例如第 2 节 “Unicode和UTF-8”介绍的UTF-8编码就是如此,学完本节之后你应该能自己写出UTF-8的编码和解码程序。本节首先介绍各种位运算符,然后介绍与位运算有关的编程技巧。

1.1. 按位与、或、异或、取反运算

第 3 节 “布尔代数”讲过逻辑与、或、非运算,并列出了真值表,对于整数中的位也可以做与、或、非运算,C语言提供了按位与(Bitwise AND)运算符&、按位或(Bitwise OR)运算符|和按位取反(Bitwise NOT)运算符~,此外还有按位异或(Bitwise XOR)运算符^,我们在第 1 节 “为什么计算机用二进制计数”讲过异或运算。下面用二进制的形式举几个例子。

图 16.1. 位运算

位运算

注意,&、|、^运算符都是要做Usual Arithmetic Conversion的(其中有一步是Integer Promotion),~运算符也要做Integer Promotion,所以在C语言中其实并不存在8位整数的位运算,操作数在做位运算之前都至少被提升为int型了,上面用8位整数举例只是为了书写方便。比如:

unsigned char c = 0xfc;
unsigned int i = ~c;

计算过程是这样的:常量0xfc是int型的,赋给c要转成unsigned char,值不变;c的十六进制表示是fc,计算~c时先提升为整型(000000fc)然后取反,最后结果是ffffff03。注意,如果把~c看成是8位整数的取反,最后结果就得3了,这就错了。为了避免出错,一是尽量避免不同类型之间的赋值,二是每一步计算都要按上一章讲的类型转换规则仔细检查。

1.2. 移位运算

移位运算符(Bitwise Shift)包括左移<<和右移>>。左移将一个整数的各二进制位全部左移若干位,例如0xcfffffff3<<2得到0x3fffffcc:

图 16.2. 左移运算

左移运算

最高两位的11被移出去了,最低两位又补了两个0,其它位依次左移两位。但要注意,移动的位数必须小于左操作数的总位数,比如上面的例子,左边是unsigned int型,如果左移的位数大于等于32位,则结果是Undefined。移位运算符不同于+ - * / ==等运算符,两边操作数的类型不要求一致,但两边操作数都要做Integer Promotion,整个表达式的类型和左操作数提升后的类型相同。

复习一下第 2 节 “不同进制之间的换算”讲过的知识可以得出结论,在一定的取值范围内,将一个整数左移1位相当于乘以2。比如二进制11(十进制3)左移一位变成110,就是6,再左移一位变成1100,就是12。读者可以自己验证这条规律对有符号数和无符号数都成立,对负数也成立。当然,如果左移改变了最高位(符号位),那么结果肯定不是乘以2了,所以我加了个前提“在一定的取值范围内”。由于计算机做移位比做乘法快得多,编译器可以利用这一点做优化,比如看到源代码中有i * 8,可以编译成移位指令而不是乘法指令。

当操作数是无符号数时,右移运算的规则和左移类似,例如0xcfffffff3>>2得到0x33fffffc:

图 16.3. 右移运算

右移运算

最低两位的11被移出去了,最高两位又补了两个0,其它位依次右移两位。和左移类似,移动的位数也必须小于左操作数的总位数,否则结果是Undefined。在一定的取值范围内,将一个整数右移1位相当于除以2,小数部分截掉。

当操作数是有符号数时,右移运算的规则比较复杂:

  • 如果是正数,那么高位移入0

  • 如果是负数,那么高位移入1还是0不一定,这是Implementation-defined的。对于x86平台的gcc编译器,最高位移入1,也就是仍保持负数的符号位,这种处理方式对负数仍然保持了“右移1位相当于除以2”的性质。

综上所述,由于类型转换和移位等问题,用有符号数做位运算是很不方便的,所以,建议只对无符号数做位运算,以减少出错的可能

习题

1、下面两行printf打印的结果有何不同?请读者比较分析一下。%x转换说明的含义详见第 2.9 节 “格式化I/O函数”

int i = 0xcffffff3;
printf("%x\n", 0xcffffff3>>2);
printf("%x\n", i>>2);

1.3. 掩码

如果要对一个整数中的某些位进行操作,怎样表示这些位在整数中的位置呢?可以用掩码(Mask)来表示。比如掩码0x0000ff00表示对一个32位整数的8~15位进行操作,举例如下。

1、取出8~15位。

unsigned int a, b, mask = 0x0000ff00;
a = 0x12345678;
b = (a & mask) >> 8; /* 0x00000056 */

这样也可以达到同样的效果:

b = (a >> 8) & ~(~0U << 8);

2、将8~15位清0。

unsigned int a, b, mask = 0x0000ff00;
a = 0x12345678;
b = a & ~mask; /* 0x12340078 */

3、将8~15位置1。

unsigned int a, b, mask = 0x0000ff00;
a = 0x12345678;
b = a | mask; /* 0x1234ff78 */

习题

1、统计一个无符号整数的二进制表示中1的个数,函数原型是int countbit(unsigned int x);

2、用位操作实现无符号整数的乘法运算,函数原型是unsigned int multiply(unsigned int x, unsigned int y);。例如:(11011)2×(10010)2=((11011)2<<1)+((11011)2<<4)。

3、对一个32位无符号整数做循环右移,函数原型是unsigned int rotate_right(unsigned int x);。所谓循环右移就是把低位移出去的部分再补到高位上去,例如rotate_right(0xdeadbeef, 16)的值应该是0xefdeadbe。

1.4. 异或运算的一些特性

1、一个数和自己做异或的结果是0。如果需要一个常数0,x86平台的编译器可能会生成这样的指令:xorl %eax, %eax。不管eax寄存器里的值原来是多少,做异或运算都能得到0,这条指令比同样效果的movl $0, %eax指令快,因为前者只需要在CPU内部计算,而后者需要访问内存,在下一章第 5 节 “Memory Hierarchy”详细介绍。

2、从异或的真值表可以看出,不管是0还是1,和0做异或保持原值不变,和1做异或得到原值的相反值。可以利用这个特性配合掩码实现某些位的翻转,例如:

unsigned int a, b, mask = 1U << 6;
a = 0x12345678;
b = a ^ mask; /* flip the 6th bit */

3、如果a1 ^ a2 ^ a3 ^ ... ^ an的结果是1,则表示a1、a2、a3...an之中1的个数为奇数个,否则为偶数个。这条性质可用于奇偶校验(Parity Check),比如在串口通信过程中,每个字节的数据都计算一个校验位,数据和校验位一起发送出去,这样接收方可以根据校验位粗略地判断接收到的数据是否有误。

4、x ^ x ^ y == y,因为x ^ x == 0,0 ^ y == y。这个性质有什么用呢?我们来看这样一个问题:交换两个变量的值,不得借助额外的存储空间,所以就不能采用temp = a; a = b; b = temp;的办法了。利用位运算可以这样做交换:

a = a ^ b;
b = b ^ a;
a = a ^ b;

分析一下这个过程。为了避免混淆,把a和b的初值分别记为a0和b0。第一行,a = a0 ^ b0;第二行,把a的新值代入,得到b = b0 ^ a0 ^ b0,等号右边的b0相当于上面公式中的x,a0相当于y,所以结果为a0;第三行,把a和b的新值代入,得到a = a0 ^ b0 ^ a0,结果为b0。注意这个过程不能把同一个变量自己跟自己交换,而利用中间变量temp则可以交换。

习题

1、请在网上查找有关RAID(Redundant Array of Independent Disks,独立磁盘冗余阵列)的资料,理解其实现原理,其实就是利用了本节的性质3和4。

2、交换两个变量的值,不得借助额外的存储空间,除了本节讲的方法之外你还能想出什么方法?本节讲的方法不能把同一个变量自己跟自己交换,你的方法有没有什么局限性?