14. 浮点数算法:争议和限制

浮点数在计算机中表达为二进制(binary)小数。例如:十进制小数:

0.125

是 1/10 + 2/100 + 5/1000 的值,同样二进制小数:

0.001

是 0/2 + 0/4 + 1/8。这两个数值相同。唯一的实质区别是第一个写为十进制小数记法,第二个是二进制。

遗憾的是,大多数十进制小数不能精确的表达二进制小数。

这个问题更早的时候首先在十进制中发现。考虑小数形式的 1/3 ,你可以来个十进制的近似值。

0.3

或者更进一步的,

0.33

或者更进一步的,

0.333

诸如此类。如果你写多少位,这个结果永远不是精确的 1/3 ,但是可以无限接近 1/3 。

同样,无论在二进制中写多少位,十进制数 0.1 都不能精确表达为二进制小数。二进制来表达 1/10 是一个无限循环小数:

0.0001100110011001100110011001100110011001100110011...

在任意无限位数值中中止,你可以得到一个近似值。

在一个典型的机器上运行 Python,一共有 53 位的精度来表示一个浮点数,所以当你输入十进制的 0.1 的时候,看到是一个二进制的小数:

0.00011001100110011001100110011001100110011001100110011010

非常接近,但是不完全等于, 1/10.

这是很容易忘记,存储的值是一个近似的原小数,由于浮体的方式,显示在提示符的解释。 Python 中只打印一个小数近似的真实机器所存储的二进制近似的十进制值。如果 Python 要打印存储的二进制近似真实的十进制值0.1,那就要显示:

>>> 0.1
0.1000000000000000055511151231257827021181583404541015625

认识到这个幻觉的真相很重要:机器不能精确表达 1/10,你可以简单的截断 显示 真正的机器值。 这里还有另一个惊奇之处。例如,下面:

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

需要注意的是这在二进制浮点数是非常自然的:它不是 Python 的 bug,也不是你的代码的 bug。你会看到只要你的硬件支持浮点数算法,所有的语言都会有这个现象(尽管有些语言可能默认或完全不 显示 这个差异)。

由于小数 2.675 是 2.67 和 2.68 的正中间,你可能期望的结果(二进制近似)2.68。这不是,因为当十进制字符串 “2.675” 转换为二进制浮点数,再换成一个二进制近似,其精确值:

2.67499999999999982236431605997495353221893310546875

这个问题在于存储 “0.1” 的浮点值已经达到 1/10 的最佳精度了,所以尝试截断它不能改善:它已经尽可能的好了。 另一个影响是因为 0.1 不能精确的表达 1/10,对10个 0.1 的值求和不能精确的得到 1.0,即:

>>> sum = 0.0
>>> for i in range(10):
...     sum += 0.1
...
>>> sum
0.9999999999999999

浮点数据算法产生了很多诸如此类的怪异现象。在“表现错误”一节中,这个 “0.1” 问题详细表达了精度问题。更完整的其它常见的怪异现象请参见 浮点数危害 。 最后我要说,“没有简单的答案”。还是不要过度的敌视浮点数!

Python 浮点数操作的错误来自于浮点数硬件,大多数机器上同类的问题每次计算误差不超过 2**53 分之一。对于大多数任务这已经足够让人满意了。但是你要在心中记住这不是十进制算法,每个浮点数计算可能会带来一个新的精度错误。

问题已经存在了,对于大多数偶发的浮点数错误,你应该比对最终显示结果是否符合你的期待。 str() 通常够用了,完全的控制参见字符串格式化中 str.format() 方法的格式化方式。

14.1. 表达错误

这一节详细说明 “0.1” 示例,教你怎样自己去精确地分析此类案例。假设这里你已经对浮点数表示有基本的了解。

Representation error 提及事实上有些(实际是大多数)十进制小数不能精确的表示为二进制小数。这是 Python (或 Perl,C,C++,Java,Fortran 以及其它很多)语言往往不能按你期待的样子显示十进制数值的根本原因:

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

这 是为什么? 1/10 不能精确的表示为二进制小数。大多数今天的机器(2000年十一月)使用 IEEE-754 浮点数算法,大多数平台上 Python 将浮点数映射为 IEEE-754 “双精度浮点数”。754 双精度包含 53 位精度,所以计算机努力将输入的 0.1 转为 J/2**N 最接近的二进制小数。J 是一个 53 位的整数。改写:

1 / 10 ~= J / (2**N)

为:

J ~= 2**N / 10

J 重现时正是 53 位(是 >= 2**52 而非 < 2**53 ), N 的最佳值是 56:

>>> 2**52
4503599627370496
>>> 2**53
9007199254740992
>>> 2**56/10
7205759403792793

因此,56 是保持 J 精度的唯一 N 值。 J 最好的近似值是整除的商:

>>> q, r = divmod(2**56, 10)
>>> r
6

因为余数大于 10 的一半,最好的近似是取上界:

>>> q+1
7205759403792794

因此在 754 双精度中 1/10 最好的近似值是是 2**56,或:

7205759403792794 / 72057594037927936

要注意因为我们向上舍入,它其实比 1/10 稍大一点点。如果我们没有向上舍入,它会比 1/10 稍小一点。但是没办法让它 恰好 是 1/10!

所以计算机永远也不 “知道” 1/10:它遇到上面这个小数,给出它所能得到的最佳的 754 双精度实数:

>>> .1 * 2**56
7205759403792794.0

如果我们用 10**30 除这个小数,会看到它最大30位(截断后的)的十进制值:

>>> 7205759403792794 * 10**30 // 2**56
100000000000000005551115123125L

这表示存储在计算机中的实际值近似等于十进制值 0.100000000000000005551115123125。 Python 显示时取 17 位精度为 0.10000000000000001(是的,在任何符合754的平台上,都会由其C库转换为这个最佳近似——你的可能不一样!)。

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